PROJET SCA N°2

STABILISATION D'UN SATELLITE

GRADIENT DE GRAVITE ET MAGNETO-COUPLEURS

Mise à jour 10/2001, revu 2011

Ce projet est plus particulièrement destiné aux étudiants ayant de solides connaissances en mécanique classique et la volonté d'assimiler le concept nouveau de quaternions d'attitude et d'aborder un domaine nouveau, celui du contrôle d'attitude.

Même si le site ou le cours sont plus particulièrement orientés vers la trajectographie, un projet de SCA ( Système de Contrôle d'Attitude ) peut apporter un plus à tous ceux qui travailleront dans le domaine spatial. En effet dans la mise au point d'une mission les problèmes de SCAO (Système de Contrôle d'Attitude et d'Orbite) sont essentiels, car intimement reliés à la trajectographie et à la mission.

Cette étude, l'une des plus simples en SCA, concerne le comportement d'un satellite sous l'effet du gradient de gravité.

Les domaines d'exploration proposés dans ce projet concernent :

 Le repérage d'un satellite par rapport au repère local, avec les angles de Cardan ( roulis lacet et tangage)

 Les quaternions d'attitude, outil mathématique de représentation d'une rotation ou de l'attitude d'un solide.

 Le gradient de gravité, considéré comme une perturbation ou au contraire utilisé pour stabiliser une attitude

 Les oscillations libres d'un satellite, avec la découverte de mouvements à grandes périodes

 Le champ magnétique terrestre

 Les magnéto-coupleurs, utilisant le champ magnétique terrestre

 La stabilisation d'un satellite par gradient de gravité et magnéto-coupleurs

 La mise en oeuvre de méthodes de l'automatique

La plupart des rubriques abordées sont développées sur le site, et naturellement encore d'avantage sur Internet où vous rechercherez de nombreux exemples, données techniques et illustrations.

Vous ne manquerez pas de fournir les adresses des bons sites, pour les générations futures d'étudiants.

I GENERALITES :

1°) LE SATELLITE :

SATELLITE 1 (CAS D'ECOLE ):Micro satellite de messagerie par exemple, acceptant une précision de pointage terre de 5°.

Il sera modélisé sous la forme d'un solide de révolution S1 et d'un système de 2 mâts transverses. Ceci pour bien mettre en évidence le rôle des inerties dans la stabilisation par gradient de gravité.

NB : En pratique le mât n'est disposé que d'un seul côté qui devrait rester pointé vers le zénith.

S1 a pour inerties: IR (Roulis) = IT (Tangage) = 6 m²kg IL (Lacet) = 8 m²kg et une masse M = 100 kg.

Le mât 1 est constitué de 2 boules ponctuelles de 3 kg chacune à 3 m du centre O

Le mât 2 est constitué de 2 boules ponctuelles de 2 kg chacune à 2 m du centre O

SATELLITE 2 : Vous adopterez les inerties suivantes:

IR (Roulis) = 400 m²-kg IT (Tangage) = 500 m²kg IL (Lacet) = 300 m²kg

SATELLITE 3 : De révolution autour du tangage, dont la stabilisation devrait poser.

IR (Roulis) = 680 m²-kg IT (Tangage) = 800 m²kg IL (Lacet) = 680 m²-kg

2°) L'ORBITE :

Le satellite est sur orbite circulaire basse polaire d'altitude sol 470 km.

Sur une orbite polaire circulaire le champ magnétique terrestre qui sera utilisé pour la stabilisation, est assez simple à modéliser.

Dans un premier temps, pour bien appréhender l'effet du seul gradient de gravité, on ne prend en compte que la gravité centrale newtonienne, sans perturbations d'orbite et pour les forces extérieures créant des couples sur le satellite, uniquement le couple dû au gradient de gravité.

Vous ne manquerez pas de commenter ce cas par rapport à un vol réel.

II PREPARATION:

Vous commencez par assimiler la notion de quaternion d'attitude.

1°) Repères - Notations - Angles :

La mission du satellite requiert une position quasi invariable par rapport au sol survolé.

O Xa Ya Za est un repère galiléen, qu'il n'est pas utile de préciser outre mesure.

Le satellite S est en orbite, supposée circulaire, de rayon ro. On appelle REPERE ORBITAL Ro le repère d'origine S et d'axes X Y Z, avec :

On désigne par S x y z le repère R, principal d'inertie pour le satellite, avec IR, IT, IL les moments principaux d'inertie.

Pour un satellite stabilisé, devant garder ses axes quasiment fixes par rapport à ce repère orbital Ro, nous sommes amenés à définir des angles particuliers, qui pour le cas d'espèce resteront petits, voisins de 0, nous adoptons les angles de Cardan.

Les repères sont définis comme suit, après avoir indiqué que l'axe a est la projection sur le plan horizontal X, Y de l'axe x ( avec une singularité évidente pour q = 90°). La succession de repères est :

XYZ --- Y --> abZ -- q ---> xbg --- F --> xyz

Nous avons ainsi défini ces angles conventionnels, plus adaptés que les angles d'Euler, au cas des petits angles, car ils sont toujours bien définis:

La matrice P de passage de XYZ à xyz s'explicite classiquement :

à comparer à son expression déduite du quaternion (voir plus loin ) qui représente la rotation géométrique faisant passer du repère orbital au repère satellite ( et non pas du repère absolu au repère satellite ):

ce qui permet d'exploiter les résultats pour évaluer les conditions initiales ou les angles de position en fonction du quaternion.

2°) GRADIENT DE GRAVITE :

Vous étudierez le gradient de gravité et en exposerez le rôle dans votre rapport final.

Vous établirez les relations suivantes donnant le couple G du gradient de gravité en axes satellites, avec les composantes exactes:

et les exprimerez en termes exacts de quaternions, pour montrer et obtenir:

 3°) CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE :

Le champ magnétique terrestre apparaît comme résultant d'un dipôle magnétique faisant un angle de 11° avec l'axe de rotation de la Terre et légèrement décentré. Le pôle sud du dipôle est dans l'hémisphère nord à 78°6 de latitude et 289°55 de longitude ouest, de plus ce dipôle dérive de 0.014°/an vers l'est et sa force augmente de 0.05% par an. C'est dire la complexité de sa représentation.

Pour une première étude de stabilisation par magnéto-coupleurs et une bonne compréhension du phénomène, nous nous contenterons d'un modèle simple

Hypothèses :

On assimile le champ magnétique terrestre à celui d'un dipôle magnétique placé suivant l'axe Nord-Sud de la Terre et présentant ainsi une symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de la Terre.

0

où mo = 4 p 10-7 et K= 6.413 1021 A-m2

N est la direction locale du Nord (pour nous magnétique et géographique à la fois avec la simplification adoptée).

L'orbite est supposée circulaire basse, polaire.

Le temps de référence t - tN est pris nul à l'un des passages du satellite au nœud N ascendant ( passage de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord ). On appelle j l'angle polaire du satellite compté à partir du nœud ascendant positivement autour de l'axe de tangage (axe également porteur du moment cinétique du satellite).

Le calcul des composantes de B sur X, Y, Z repère orbital local donne donc( vous le vérifierez ).

4°) CONTROLE D'ATTITUDE PAR MAGNETO-COUPLEURS

Voir le cours sur les magnéto-coupleurs

Le vecteur champ magnétique terrestre par ses composantes dans le repère orbital local XYZ, associé à la position courante du satellite, au rayon vecteur r et au temps t, cette donnée peut être soit analytique soit sous forme de modèle embarqué.

L'électronique de bord et les capteurs utilisés ( gyromètres ) doivent élaborer des moments magnétiques, en commandant les intensités des courants dans des bobines.

Un pseudo moment magnétique de commande m est élaboré par le calculateur, par exemple être en loi proportionnelle dérivée:

D'autres commandes peuvent naturellement être imaginées.

Couple généré par un magnétocoupleur :

Vous rechercherez les fondements théoriques.

NB : Le satellite est équipé de magnétomètres( liés au satellite), mesurant in situ les composantes en axes satellite du champ magnétique terrestre. Des capteurs de positions angulaires ( senseurs ) et des gyromètres de mesure de vitesses angulaires associés à une électronique de bord, permettent d'élaborer les fonctions mx my mz puis Mx My Mz, et donc les courants à injecter dans les bobines suivant les 3 axes pour obtenir le moment magnétique de commande M.

Le moment magnétique général M du dipôle équivalent aux 3 bobines s'écrit sous forme vectorielle :

C'est ce moment magnétique qui est physiquement réalisé à l'aide de 3 bobines suivant les axes x y z, en injectant des courants proportionnels aux composantes des moments Mx My Mz.

RAPPEL: Le vecteur champ magnétique terrestre calculé dans la base satellite en fonction des paramètres angulaires et des composantes de B dans le repère orbital est:

Le lecteur effectuera le double produit vectoriel pour s'en convaincre, donnant sur le satellite, le couple de contrôle ci-dessous, où toutes les notations sont en axes satellite

COMMANDE PORTANT SUR LE MOMENT MAGNETIQUE:

Elle se fait par l'intermédiaire du moment magnétique des bobines des magnéto-coupleurs de moment M.

On peut par exemple essayer une commande générée par des mesures gyrométriques et des moments proportionnels aux vitesses angulaires relatives mesurées dans le repère satellite.

Donc une commande électronique indirecte de la forme:

où Kg est un gain à régler.

Le rôle amortisseur de la commande apparaît grâce aux signes < 0 des termes diagonaux de la matrice fonction de B, servant au calcul du moment de commande.

Ce gain pourrait si nécessaire, être différent sur les 3 axes, par exemple:

On pourrait aussi imaginer une commande de type rappel élastique, avec des couples s'opposant aux écarts angulaires. A vous de jouer: 

5°) COUPLES PERTURBATEURS :

La présence de couples perturbateurs pourrait être envisagée, on noterait avec un indice p, les composantes sur les axes satellites :

5°) EQUATIONS D'EVOLUTION :

a) EQUATION D'EVOLUTION DU QUATERNION :

Il faut comprendre:2 concepts :

 Que la position du satellite, par rapport au REPERE ORBITAL, résulte de la rotation géométrique, donc du QUATERNION D'ATTITUDE Q de composantes (qO, q1, q2, q3) Le quaternion est capable de représenter toute attitude sans jamais présenter de singularités.

 Que le mouvement instantané GALILEEN autour du centre d'inertie, est une rotation axiale de vitesse angulaire donnée par LA ROTATION INSTANTANEE W de composantes ( p, q, r) en AXES ABSOLUS.

La rotation relative au REPERE ORBITAL, celle qu'il faut annuler en théorie, est alors :

Cette rotation est connue à bord du satellite grâce aux mesures gyrométriques. Il est donc envisageable de générer des couples s'opposant à telle ou telle vitesse à contrôler.

L'évolution du quaternion et la rotation sont liés par les équations :

avec une matrice Ms:

0

b) EQUATIONS DU MOUVEMENT :

Le théorème du moment cinétique appliqué au satellite en son centre d'inertie, en projection sur les axes satellite, sous l'effet de G COUPLE DU GRADIENT DE GRAVITE et C COUPLE DE COMMANDE et Gp COUPLE PERTURBATEUR, donne les équations du mouvement.

4°) INITIALISATION DES CALCULS :

a) MISE SOUS FORME CANONIQUE :

Vous poserez un vecteur colonne X à 7 composantes, représentant la rotation W et le quaternion Q

Vous mettrez l'ensemble des équations sous la forme canonique d'un système d'ordre 1.

avec des conditions initiales à calculer

b) INITIALISATION DU QUATERNION :

Il paraît évident que l'initialisation doit être faite à l'aide des angles de repérage initiaux et donc de la matrice P de passage qui s'exprime en fonction de ces angles. Nous supposons donc connue la matrice P par ses coefficients Pij.

Le lecteur vérifiera, en observant attentivement l'écriture de P et notamment la forme des coefficients hors diagonale, que l'on peut calculer le quaternion d'attitude avec la matrice P, par les relations suivantes:

Une série de tests est nécessaire sur les éléments diagonaux pour calculer le quaternion à une indétermination près de signe. Dans tous les cas on supposera cependant que qo est dans l'intervalle 0, 1.

En pratique dès que le signe d'une composante de Q est choisi, il détermine automatiquement le signe des autres, mais la matrice P de passage n'en est pas affectée. Il n'y a donc pas lieu de s'inquiéter, et si qo est différent de 0 nous prendrons toujours cette composante > 0 sinon ce sera q1 etc....

Exemple de programme de calcul d'initialisation du quaternion Q = [q0 q1 q2 q3 ]

Un problème se pose, celui du calcul de la racine carrée de nombres calculés numériquement et pouvant donner à cause des arrondis, des valeurs voisines de 0, donc au signe douteux. Des tests doivent être prévus pour pallier cette difficulté.

Voici un exemple de programme sous le logiciel Matlab, programme qui peut facilement s'adapter à d'autres langages et que vous pouvez recopier.

NB : Le dernier indice 0 des variables à 2 indices indique la valeur initiale, par exemple qt30 est la valeur initiale de la troisième composante q3 du quaternion d'attitude.

NB : Pmat est la matrice de passage de la base absolue à la relative.

NB : le symbole ^ est celui de la puissance.

Nous prendrons toujours q0 >0 ou nul

trac=trace(Pmat);

if (1+trac)>0,

            qt00=(1+trac)^0.5/2;

else

            qt00=0;

0end

if (1-trac+2*Pmat(1,1))>0,

            qt10=(1-trac+2*Pmat(1,1))^0.5/2;

else

            qt10=0;

end

if (1-trac+2*Pmat(2,2))>0,

            qt20=(1-trac+2*Pmat(2,2))^0.5/2;

else

            qt20=0;

end

if (1-trac+2*Pmat(3,3))>0,

            qt30=(1-trac+2*Pmat(3,3))^0.5/2;

else

            qt30=0;

end

if abs(qt00)>1e-8,

qt10=qt10*sign((Pmat(3,2)-Pmat(2,3))/4/qt00);

qt20=qt20*sign((Pmat(1,3)-Pmat(3,1))/4/qt00);

qt30=qt30*sign((Pmat(2,1)-Pmat(1,2))/4/qt00);

else if abs(qt10)>1e-8,

qt20=qt20*sign((Pmat(1,2)+Pmat(2,1))/4/qt10);

qt30=qt30*sign((Pmat(1,3)+Pmat(3,1))/4/qt10);

qt00=qt00*sign((Pmat(3,2)-Pmat(2,3))/4/qt10);

else if abs(qt20)>1e-8,

qt10=qt10*sign((Pmat(1,2)+Pmat(2,1))/4/qt20);

qt30=qt30*sign((Pmat(2,3)+Pmat(3,2))/4/qt20);

qt00=qt00*sign((Pmat(1,3)-Pmat(3,1))/4/qt20);

else if abs(qt30)>1e-8,

qt20=qt20*sign((Pmat(3,2)+Pmat(2,3))/4/qt30);

qt10=qt10*sign((Pmat(1,3)+Pmat(3,1))/4/qt30);

qt00=qt00*sign((Pmat(2,1)-Pmat(1,2))/4/qt30);

end

Q=[qt00 qt10 qt20 qt30];

Q est le quaternion initial

III VOTRE TRAVAIL:

Vous utiliserez les 3 satellites proposés, mais rien ne vous empêche de choisir un cas particulier ou un satellite existant et d'adapter certaines constantes du problème.

1°) MOUVEMENT LIBRE SOUS GRADIENT DE GRAVITE:

a) TRAITEMENT MATHEMATIQUE EXACT :

Vous présentez dans le cas des petits dépointages les équations du mouvement libre du satellite, c'est à dire sous la seule action du gradient de gravité, sans contrôle.

Vous traitez le problème dans sa généralité mathématique et mécanique, littéralement, sur le système linéarisé.

Pour ce système différentiel linéaire du deuxième ordre, vous préciserez la position d'équilibre stable du satellite en orbite. Renseignez vous sur la position d'équilibre de la navette US en orbite ? Intéressez vous à notre Lune?

b) Vous calculez littéralement les périodes propres des vibrations par les méthodes classiques des petits mouvements. Quels sont les angles couplés?

Application numérique satellite 1 et satellite 2: période de tangage?

c) INTEGRATION NUMERIQUE 1 :

Naturellement, on peut traiter des conditions initiales quelconques, mais pour fixer les idées, vous traitez le cas concret du mouvement libre, avec les conditions initiales suivantes : vitesses angulaires nulles et angles de roulis lacet et tangage égaux à 6°.

Vous devriez confirmer les résultats de b) et valider ainsi votre algorithme d'intégration, vraisemblablement Runge Kutta ordre 4.

d) INTEGRATION NUMERIQUE 2 :

C'est votre premier contact avec les quaternions. Voir les cours.

Vous traitez le même problème qu'en c) en introduisant le quaternion d'attitude, mais avec les équations exactes, sans faire l'hypothèse des petits mouvements et avec les mêmes conditions initiales.

Vous devriez retrouver avec une excellente approximation les résultats c), confirmant la validité de la linéarisation.

Vous fournirez les courbes d'évolution des 3 angles en fonction du temps. Peut être pourriez vous comparer avec le cas linéarisé et les mêmes conditions initiales.

Vérifiez l'extrême sensibilité des variations du tangage, à la vitesse angulaire ( par exemple 6 10-4 rd/s puis 10-3 rd/s sur le satellite 2)

Vous êtes alors au point ( technique des quaternions et méthode d'intégration ), pour mettre en œuvre les quaternions dans des études plus complexes ( mouvements aux grands angles, stabilisation et contrôle d'attitude).

2°) MOUVEMENT SOUS GRADIENT DE GRAVITE ET MAGNETO-COUPLEURS:

NB : Nous appellerons ici énergie, l'écart DE entre l'énergie de rotation du mouvement général Er=0.5*(Irp²+Itq²+Ilr²) et l'énergie de rotation dans le mouvement stabilisé soit Es=0.5*Itwo². DE =Er - Es

Vous intégrez les équations exactes du mouvement; en présence du gradient de gravité et de magnéto-coupleurs, avec un gain uniforme Kg=10000 au départ (voir plus loin), puis vous adapterez le gain à l'axe à surveiller.

En particulier avec par exemple un mouvement initial de tangage pur, avec une vitesse angulaire de 0.1 rd/s en tangage et les angles de Cardan nuls, vous vérifiez que l'énergie de rotation du satellite( au sens ci-dessus, voir NB ) tend vers 0, confirmant ainsi l'amortissement du tangage.

a) ACQUISITION :

Ainsi vous montrez l'intérêt des magnéto-coupleurs, pour les séquences d'acquisition juste après l'injection en orbite. La réduction des vitesses angulaires est alors capitale pour l'acquisition d'une attitude stable.

Conditions initiales 1 avec le satellite 2 ( et Kr=10000, Kt=2500, Kl=50000:

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0.01; v_tangage0=0.005; v_lacet0=0.002;

Initialisation en position (rd)

roulis0=0.1; tangage0=0.5; lacet0=0.15;

Vous vérifiez que la réduction des vitesses angulaires est totale, que l'énergie de rotation s'annule et que le satellite se retrouve en position inverse de celle prévue, avec son axe z pointé vers le nadir. Une manœuvre de retournement est donc nécessaire.

Conditions initiales 2 avec le satellite 2 et Kr=10000, Kt=2500, Kl=50000:

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0.01; v_tangage0=0.002; v_lacet0=0.002;

Initialisation en position (rd) :

roulis0=0.1; tangage0=0.2; lacet0=0.15;

Vous vérifiez que la réduction des vitesses angulaires est totale, que l'énergie de rotation au sens précédent) s'annule et que le satellite se retrouve dans la position souhaitée avec son axe z pointé vers le zénith.

Conditions initiales 3 avec le satellite 2 et Kr=10000, Kt=2500, Kl=50000: tangage pur

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0; tangage0=0.03; v_lacet0=0;

Initialisation en position (rd)

roulis0=0; tangage0=0.6; lacet0=0;

Vous vérifiez que le satellite effectue 1 tour complet avant sa capture en tangage. Avec une vitesse de tangage de 0.008 rd/s 5 tours seraient effectués avant capture. Avec un gain plus fort Kt=10000, vous verrez une acquisition plus rapide.

Dans le cas général, une fois l'acquisition effectuée, vous montrez sur des graphes adéquats l'effet amortisseur des magnéto-coupleurs, que ce soit en pointage normal ou retourné.

b) SATURATION DES MAGNETO-COUPLEURS :

Dans tous les cas vous déterminez les moments magnétiques nécessaires des bobines

Vous pourrez ainsi dimensionner les magnéto-coupleurs ou éventuellement en utiliser de plus petits, en les faisant travailler en saturation, il faut alors adapter les calculs à ce cas. Attention, c'est M et ses 3 composantes qu'il faut étudier, par l'intermédiaire de m.

Des valeurs de 10 A-m² sont classiques.

c) COUPLES MIS EN JEU :

Vous donnerez, pour chaque simulation, l'évolution temporelle et l'ordre de grandeur des couples de commande maximum.

3°) RETOURNEMENT:

Vous vous renseignerez sur les méthodes permettant après capture, et un pointage inversé, de retourner le satellite.

4°) EN PRESENCE DE PERTURBATIONS:

Vous pourriez abordez le cas d'un satellite en orbite basse, donc soumis au forces de freinage atmosphérique, pouvant créer suivant la forme du satellite, un couple aérodynamique, qu'on pourra supposer sur l'axe de tangage.

Renseignez vous sur le niveau de cette perturbation, simulez sa présence et commentez la position d'équilibre.

5°) COMMENTAIRES:

En vous appuyant sur des missions réelles et sur votre étude, vous commentez les avantages et les inconvénients des magnéto-coupleurs.

Vous parlerez également des senseurs nécessaires à la mise en œuvre de la stabilisation

Vous citerez d'autres actuateurs .

Rédaction octobre 2001

Pour le professeur et les simulations Matlab:

Oscillations libres : REPERTOIRE GRAD3ANG: scaoqtn4.m initialisé par scaodat4.m

Magnéto_coupleurs : REPERTOIRE GRADMAGN: magn_sim.m initialisé magn_dat.m